Threaded Mode | Linear Mode

**THOMAS** · (This post was last modified: 08-06-2011 04:28 PM by THOMAS.)

1/
Cho phương trình bậc hai $x^2-(m+3)x+m^2=0$ , m là tham số thỏa pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
a) Khi $m=1$ , chứng minh: $\sqrt[8]{x_1}+\sqrt[8]{x_2}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$
b) Tìm m sao cho $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{5}$
c) Xét đa thức $P(x)=x^3+ax^2+bx$ . Tìm (a,b) sao cho với mọi m ta có $P(x_1)=P(x_2)$

2/
1)Cho a,b dương. Tìm MinP với $P=\frac{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}{1+ab}$
2) Cho x,y,z là các số thực thỏa điều kiện $|x|,|y|,|z| \leq 1$ .
CMR: $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^2}$

3/Cho tam giác nhọn ABC có AB=b,AC=c. M di động trên AB. (BMC) cắt AC tại N.
a)CMR: tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB. Tình $\frac{MA}{MB}$ để diện tích AMN bằng nửa diện tích ABC.
b)I là tâm đường tròn ngoại tiếp AMN. CMR I thuộc đường thẳng cố định.
c)J là tâm đường tròn ngoại tiếp BMC. CMR IJ không đổi khi M di động trên AB.

4)Cho a,b,c nguyên thỏa 2a+b,2b+c,2c+a là số chính phương.
a) Biết rằng có 1 trong 3 số chính phương chia hết cho 3, CMR (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27.
b) Tồn tại hay không a,b,c thỏa điều kiện và (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 27.

5) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3,BC=4.
a)CMR từ 7 điểm bất kì trong hình chứ nhật trên có 2 điểm mà khoảng cách không lớn hơn $\sqrt{5}$ .
b)CMR kết luận trên vẫn đúng với 6 đểm bất kì trong hình chữ nhật trên.

**shin_kudo_95** · (This post was last modified: 09-06-2011 09:37 PM by Cao Trụi.)

Tình cờ có được ý tưởng để giải bài 5 Big Grin

Do vội post bài để kịp FM Inhouse nên hình vẽ bằng Paint có hơi xấu tí Big Grin

Chia hình chữ nhật 3x4 đã cho thành 5 vùng như hình vẽ :

[Image: 252853_172741082785846_100001498659492_4...0596_n.jpg]

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 6 điểm đã cho có ít nhất hai điểm cùng nằm trong một vùng. Gọi 2 điểm ấy là A và B. Dễ thấy AB không lớn hơn căn 5. Vậy bài toán đã được chứng minh. Big Grin

Mashimaru · (This post was last modified: 09-06-2011 12:25 AM by Mashimaru.)

@shin_kudo_95: Em có thể chứng minh một cách chặt chẽ cái "dễ thấy" đó ko Big Grin

thanhvu95 · (This post was last modified: 09-06-2011 10:57 AM by thanhvu95.)

Kudo giải hay quá!
A Mashimaru đùa hoài nhá! Big Grin

trunghai95 · (This post was last modified: 09-06-2011 01:32 PM by trunghai95.)

nhìn bằng mắt thì đúng là dễ thấy, nhưng mà đưa lên giấy chứng minh thì cũng k phải dễ Laughing

thanhvu95 · 09-06-2011, 01:21 PM

Đùa thật hả?? CM đâu có gì đâu Hải Frown

2 câu hình quên sạch bách luôn. Bí rồi Cry

**shin_kudo_95** · 09-06-2011, 02:03 PM

(09-06-2011 12:21 AM)Mashimaru Wrote: @shin_kudo_95: Em có thể chứng minh một cách chặt chẽ cái "dễ thấy" đó ko

Đọc cmt của anh xong em "teo" đến giờ rolling on the floor

ldn28593 · 09-06-2011, 09:09 PM

2 bài BĐT năm nay cho cũng dễ nhỉ
bài 1 dùng Cauchy (1+a^2)(1+b^2) = 1 + (a^2+b^2)+a^2b^2 >= (1+ab)^2
bài 2 chỉ cần cm bổ đề
[(1-x^2)^(1/2) + (1-y^2)^(1/2) / 2] =< (1-((x+y)/2)^2)^(1/2)
đưa về dạng [f(x) + f(y)] / 2=< f((x+y)/2)
dùng 2 lần là ra.
Hok biết đúng hok nữa...
Năm sau chắc lại có đá banh he he

TTT · 09-06-2011, 10:15 PM

Bài bất đẳng thức cứ áp dụng bổ đề $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ hai lần là ra Big Grin

hk123456 · 10-06-2011, 02:26 PM

@shinkudo : theo mình thì cái đường chéo lớn nhất của phần hình chứa 2 điểm = căn 5. vậy nên đoạn thẳng nối 2 điểm đó thì không lớn hơn căn 5. ( dùng pitago thì ra đc đường chéo Big Grin

)

thanhvu95 · (This post was last modified: 10-06-2011 09:22 PM by thanhvu95.)

Hnhư e nhớ k lầm thì bdt 2 là bà bdt Maxkowski 3 số

LS_vo_doi_rung_xanh · (This post was last modified: 10-06-2011 10:45 PM by LS_vo_doi_rung_xanh.)

(10-06-2011 09:21 PM)thanhvu95 Wrote: Hnhư e nhớ k lầm thì bdt 2 là bà bdt Maxkowski 3 số

wow, maxkowski 1 BDT mới Dribble

huyleo_93 · (This post was last modified: 10-06-2011 11:01 PM by huyleo_93.)

Minkowski với Maxkowski là hai nhà toán học người Đức,hai anh em song sinh đó Smile

Đều tìm ra hai bất đẳng thức mang tên mình,và chung 1 lời giải (Phương phép tương đương)

thanhvu95 · 11-06-2011, 12:38 AM

Bdt dạng giong minskowski mà tìm max. ...., cho dễ nhớ mà.
Mấy a này bắt bẻ quá Big Grin

Mashimaru · 11-06-2011, 10:36 AM

@shin_kudo_95: Em coi trên facebook thì thấy anh Nguyên có nói một lý luận rất hay là "Hai điểm có khoảng cách xa nhất trong đa giác lồi phải nằm trên cạnh". Tuy nhiên bản thân câu nói này chứa một khái niệm hơi xa lạ đối với các em lớp 9 là khái niệm "lồi". Trong Hình Học ta có định nghĩa "Hình lồi là hình thoả mãn nếu có hai điểm A,B thuộc hình thì tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng AB đều thuộc hình". Dựa vào khái niệm này có thể suy ra được tính chất trên, nhưng rồi từ tính chất đó để tính ra khoảng cách xa nhất của hai điểm trong "hình ngôi nhà" bằng căn(5) cũng còn phải xem xét một chút. Với các em lớp 9, anh nghĩ (từ kinh nghiệm bản thân thôi ^^) để có hiểu được tường tận khái niệm "lồi" đồng thời chứng minh chặt chẽ được dựa vào khái niệm này là không dễ dàng.
Có một cách nghĩ tự nhiên hơn là ta dựa vào câu a. để thấy rằng khoảng cách giữa hai điểm xa nhất trong hình chữ nhật 1x2 là căn(5) (chứng minh cái này thật sự dễ, bởi vì chỉ cần xét đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này với tính chất "hai điểm cách xa nhau nhất trong một hình tròn là hai đầu đường kính"). Dựa trên ý tưởng này, ta chia hình ngôi nhà thành các phần con của hình 1x2, sau đó xét riêng. Anh nghĩ cách này nếu một học sinh lớp 9 tỉ mỉ và đủ thời gian thì có thể làm chặt chẽ.
Tóm lại, anh thấy để chứng minh được tính chất của hình ngôi nhà có hơi mệt mỏi. Không biết thang điểm của các thầy như thế nào. Anh có em đi thi, cũng thừa nhận tính chất của hình ngôi nhà. Hy vọng các thầy coi trọng cái việc chia hình 3x4 thành các hình ngôi nhà.

@thanhvu95: Không biết em chứng minh kết quả về hình ngôi nhà nói trên như thế nào Nailbiting

Còn việc về BĐT Mincowsky và BĐT Maxcowsky mình nghĩ không đến nỗi phải tranh cãi nhiều, nếu như ta coi bài 2 là bài biến đổi tương đương Big Grin

08-06-2011, 04:25 PM (This post was last modified: 08-06-2011 04:28 PM by THOMAS.) Post: #1
THOMAS Toán 2008-2011 Hãy chơi theo cách của bạn Posts: 167 Joined: Nov 2008 Reputation: 0	Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên 1/ Cho phương trình bậc hai $x^2-(m+3)x+m^2=0$ , m là tham số thỏa pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ a) Khi $m=1$ , chứng minh: $\sqrt[8]{x_1}+\sqrt[8]{x_2}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$ b) Tìm m sao cho $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{5}$ c) Xét đa thức $P(x)=x^3+ax^2+bx$ . Tìm (a,b) sao cho với mọi m ta có $P(x_1)=P(x_2)$ 2/ 1)Cho a,b dương. Tìm MinP với $P=\frac{\sqrt{1+a^2}\sqrt{1+b^2}}{1+ab}$ 2) Cho x,y,z là các số thực thỏa điều kiện $\|x\|,\|y\|,\|z\| \leq 1$ . CMR: $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2} \leq \sqrt{9-(x+y+z)^2}$ 3/Cho tam giác nhọn ABC có AB=b,AC=c. M di động trên AB. (BMC) cắt AC tại N. a)CMR: tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB. Tình $\frac{MA}{MB}$ để diện tích AMN bằng nửa diện tích ABC. b)I là tâm đường tròn ngoại tiếp AMN. CMR I thuộc đường thẳng cố định. c)J là tâm đường tròn ngoại tiếp BMC. CMR IJ không đổi khi M di động trên AB. 4)Cho a,b,c nguyên thỏa 2a+b,2b+c,2c+a là số chính phương. a) Biết rằng có 1 trong 3 số chính phương chia hết cho 3, CMR (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27. b) Tồn tại hay không a,b,c thỏa điều kiện và (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 27. 5) Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3,BC=4. a)CMR từ 7 điểm bất kì trong hình chứ nhật trên có 2 điểm mà khoảng cách không lớn hơn $\sqrt{5}$ . b)CMR kết luận trên vẫn đúng với 6 đểm bất kì trong hình chữ nhật trên.

08-06-2011, 09:04 PM (This post was last modified: 09-06-2011 09:37 PM by Cao Trụi.) Post: #2
shin_kudo_95 Văn 2010-2013 Bồ công anh Posts: 649 Joined: Jul 2010 Reputation: -13	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Tình cờ có được ý tưởng để giải bài 5 Do vội post bài để kịp FM Inhouse nên hình vẽ bằng Paint có hơi xấu tí Chia hình chữ nhật 3x4 đã cho thành 5 vùng như hình vẽ : Theo nguyên lý Dirichlet, trong 6 điểm đã cho có ít nhất hai điểm cùng nằm trong một vùng. Gọi 2 điểm ấy là A và B. Dễ thấy AB không lớn hơn căn 5. Vậy bài toán đã được chứng minh.

09-06-2011, 12:21 AM (This post was last modified: 09-06-2011 12:25 AM by Mashimaru.) Post: #3
Mashimaru Toán 2007-2010 Ma lem Posts: 105 Joined: Aug 2008 Reputation: 1	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên @shin_kudo_95: Em có thể chứng minh một cách chặt chẽ cái "dễ thấy" đó ko

09-06-2011, 10:49 AM (This post was last modified: 09-06-2011 10:57 AM by thanhvu95.) Post: #4
thanhvu95 Toán 2010-2013 Ma bư Posts: 541 Joined: Aug 2010 Reputation: 2	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Kudo giải hay quá! A Mashimaru đùa hoài nhá!

09-06-2011, 12:53 PM (This post was last modified: 09-06-2011 01:32 PM by trunghai95.) Post: #5
trunghai95 Toán 2010-2013 Quỷ sứ Posts: 1,033 Joined: Aug 2010 Reputation: 2	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên nhìn bằng mắt thì đúng là dễ thấy, nhưng mà đưa lên giấy chứng minh thì cũng k phải dễ

09-06-2011, 01:21 PM Post: #6
thanhvu95 Toán 2010-2013 Ma bư Posts: 541 Joined: Aug 2010 Reputation: 2	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Đùa thật hả?? CM đâu có gì đâu Hải 2 câu hình quên sạch bách luôn. Bí rồi

09-06-2011, 02:03 PM Post: #7
shin_kudo_95 Văn 2010-2013 Bồ công anh Posts: 649 Joined: Jul 2010 Reputation: -13	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên (09-06-2011 12:21 AM)Mashimaru Wrote: @shin_kudo_95: Em có thể chứng minh một cách chặt chẽ cái "dễ thấy" đó ko Đọc cmt của anh xong em "teo" đến giờ

09-06-2011, 09:09 PM Post: #8
ldn28593 Lý 2008-2011 Ma lem Posts: 131 Joined: Sep 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên 2 bài BĐT năm nay cho cũng dễ nhỉ bài 1 dùng Cauchy (1+a^2)(1+b^2) = 1 + (a^2+b^2)+a^2b^2 >= (1+ab)^2 bài 2 chỉ cần cm bổ đề [(1-x^2)^(1/2) + (1-y^2)^(1/2) / 2] =< (1-((x+y)/2)^2)^(1/2) đưa về dạng [f(x) + f(y)] / 2=< f((x+y)/2) dùng 2 lần là ra. Hok biết đúng hok nữa... Năm sau chắc lại có đá banh he he

09-06-2011, 10:15 PM Post: #9
TTT Toán 2009-2012 Ma tập sự Posts: 17 Joined: Feb 2010 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Bài bất đẳng thức cứ áp dụng bổ đề $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ hai lần là ra

10-06-2011, 02:26 PM Post: #10
hk123456 Ma mới Posts: 1 Joined: Jun 2011 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên @shinkudo : theo mình thì cái đường chéo lớn nhất của phần hình chứa 2 điểm = căn 5. vậy nên đoạn thẳng nối 2 điểm đó thì không lớn hơn căn 5. ( dùng pitago thì ra đc đường chéo )

10-06-2011, 09:21 PM (This post was last modified: 10-06-2011 09:22 PM by thanhvu95.) Post: #11
thanhvu95 Toán 2010-2013 Ma bư Posts: 541 Joined: Aug 2010 Reputation: 2	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Hnhư e nhớ k lầm thì bdt 2 là bà bdt Maxkowski 3 số

10-06-2011, 10:45 PM (This post was last modified: 10-06-2011 10:45 PM by LS_vo_doi_rung_xanh.) Post: #12
LS_vo_doi_rung_xanh Toán 2008-2011 Ma bư Posts: 437 Joined: Nov 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên (10-06-2011 09:21 PM)thanhvu95 Wrote: Hnhư e nhớ k lầm thì bdt 2 là bà bdt Maxkowski 3 số wow, maxkowski 1 BDT mới Chào các bạn. Mình là Long, năm nay mình 18 tuổi và mình bị gay. Hí hí.. Mình là đệ tử của a Bean :-> Cảm ơn các bạn đã quan tâm!thanks

10-06-2011, 11:00 PM (This post was last modified: 10-06-2011 11:01 PM by huyleo_93.) Post: #13
huyleo_93 Toán 2008-2011 Ma tập sự Posts: 33 Joined: Aug 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Minkowski với Maxkowski là hai nhà toán học người Đức,hai anh em song sinh đóĐều tìm ra hai bất đẳng thức mang tên mình,và chung 1 lời giải (Phương phép tương đương)

11-06-2011, 12:38 AM Post: #14
thanhvu95 Toán 2010-2013 Ma bư Posts: 541 Joined: Aug 2010 Reputation: 2	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên Bdt dạng giong minskowski mà tìm max. ...., cho dễ nhớ mà. Mấy a này bắt bẻ quá

11-06-2011, 10:36 AM Post: #15
Mashimaru Toán 2007-2010 Ma lem Posts: 105 Joined: Aug 2008 Reputation: 1	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK 2011 môn toán chuyên @shin_kudo_95: Em coi trên facebook thì thấy anh Nguyên có nói một lý luận rất hay là "Hai điểm có khoảng cách xa nhất trong đa giác lồi phải nằm trên cạnh". Tuy nhiên bản thân câu nói này chứa một khái niệm hơi xa lạ đối với các em lớp 9 là khái niệm "lồi". Trong Hình Học ta có định nghĩa "Hình lồi là hình thoả mãn nếu có hai điểm A,B thuộc hình thì tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng AB đều thuộc hình". Dựa vào khái niệm này có thể suy ra được tính chất trên, nhưng rồi từ tính chất đó để tính ra khoảng cách xa nhất của hai điểm trong "hình ngôi nhà" bằng căn(5) cũng còn phải xem xét một chút. Với các em lớp 9, anh nghĩ (từ kinh nghiệm bản thân thôi ^^) để có hiểu được tường tận khái niệm "lồi" đồng thời chứng minh chặt chẽ được dựa vào khái niệm này là không dễ dàng. Có một cách nghĩ tự nhiên hơn là ta dựa vào câu a. để thấy rằng khoảng cách giữa hai điểm xa nhất trong hình chữ nhật 1x2 là căn(5) (chứng minh cái này thật sự dễ, bởi vì chỉ cần xét đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này với tính chất "hai điểm cách xa nhau nhất trong một hình tròn là hai đầu đường kính"). Dựa trên ý tưởng này, ta chia hình ngôi nhà thành các phần con của hình 1x2, sau đó xét riêng. Anh nghĩ cách này nếu một học sinh lớp 9 tỉ mỉ và đủ thời gian thì có thể làm chặt chẽ. Tóm lại, anh thấy để chứng minh được tính chất của hình ngôi nhà có hơi mệt mỏi. Không biết thang điểm của các thầy như thế nào. Anh có em đi thi, cũng thừa nhận tính chất của hình ngôi nhà. Hy vọng các thầy coi trọng cái việc chia hình 3x4 thành các hình ngôi nhà. @thanhvu95: Không biết em chứng minh kết quả về hình ngôi nhà nói trên như thế nào Còn việc về BĐT Mincowsky và BĐT Maxcowsky mình nghĩ không đến nỗi phải tranh cãi nhiều, nếu như ta coi bài 2 là bài biến đổi tương đương