Threaded Mode | Linear Mode

ilovemath · (This post was last modified: 31-12-2011 08:16 PM by ilovemath.)

Cho $x,y,z,t \geq 0$ .Chứng minh: $(x+y+z+t)^3<=4(x^3+y^3+z^3+t^3)+24 (xyz+yzt+ztx+txy)$

**THOMAS** · 29-01-2011, 09:30 PM

Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ .

$(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1)
Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ...
=> $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2)
(1) và (2)=> đpcm
@ilovemath: Cố gắng gõ Latex nhé.

ilovemath · (This post was last modified: 29-01-2011 10:17 PM by ilovemath.)

(29-01-2011 09:30 PM)THOMAS Wrote: Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ .

$(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1)
Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ...
=> $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2)
(1) và (2)=> đpcm
@ilovemath: Cố gắng gõ Latex nhé.

Anh ơi, huhu, em bíêt em dốt nát, em không hiểu lắm.Từ (1) và (2) sao ra được điều phải chứng minh vậy.Anh giải thích giúp em đc không

ilovemath · 30-01-2011, 07:18 AM

À, em ra bài 1 rồi anh ơi. Tách đôi 2010,2011,2012 rồi dùng công thức bíên tổng thành tích ta ra đc VT<=VP
Còn bài 2 (sau 1 đêm trăn trở) ,em ...vẫn bí

Seto · (This post was last modified: 30-01-2011 10:24 AM by Seto.)

(29-01-2011 09:30 PM)THOMAS Wrote: Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ .

$(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1)
Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ...
=> $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2)
(1) và (2)=> đpcm

Ngược dấu rồi bác Big Grin

Ko mất tính TQ, giả sử t nhỏ nhất.
*Xét $t=0$ , BDT trở thành $(x+y+z)^3 \leq 4(x^3+y^3+z^3)+24xyz$
$<=>xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) \leq x^3+y^3+z^3+6xyz$
Theo Schur ta có bdt chặt hơn là $xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) \leq x^3+y^3+z^3+3xyz$ nên cái trên hiển nhiên đúng.

*Xét t khác 0. Chia 2 vế cho t^3 sau đó đặt $\frac{x}{t}=a,\frac{y}{t}=b,\frac{z}{t}=c$ thì ta dc
$(a+b+c+1)^3 \leq 4(a^3+b^3+c^3+1)+24abc+24(ab+bc+ca)$ (bước này thực ra là chuẩn hoá cho t=1).

Dùng phép biến đổi đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ rồi khai triển, ta cần CM bdt $P^3+8q+12r+1 \geq p^2+p+4pq(*)$

+ TH $4q \geq p^2$
$=>8q+1 \geq 2p^2+1 \geq p^2+p(1)$
Theo Schur: $p^3+9r \geq 4pq(2)$ . $(1),(2)=>(*)$

+TH $p^2 \geq 4q$
Khi đó $(*)<=>(p-2)(p^2-4q)+P^2-p+1\geq$ Bdt này đúng do
$p=a+b+c=x/t+y/z+z/t \geq 3>2$ (Do $t \leq x,y,z$ )
Ta có dpcm. Dấu = xảy ra khi có 2 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

ilovemath · (This post was last modified: 30-01-2011 04:45 PM by ilovemath.)

Em cảm các anh chị đã tận tình giúp đỡ em ạ.Chúc mọi người một cái Tết vui vẻ, an khang thịng vượng.

louisgvr · 02-02-2011, 08:27 PM

Vô năm hình như học cái này. Tks các bạn và các anh chị.

29-01-2011, 06:30 PM (This post was last modified: 31-12-2011 08:16 PM by ilovemath.) Post: #1
ilovemath Ma tập sự Posts: 11 Joined: Aug 2010 Reputation: 0	Hệ thức lượng và bất đẳng thức. Cho $x,y,z,t \geq 0$ .Chứng minh: $(x+y+z+t)^3<=4(x^3+y^3+z^3+t^3)+24 (xyz+yzt+ztx+txy)$

29-01-2011, 09:30 PM Post: #2
THOMAS Toán 2008-2011 Hãy chơi theo cách của bạn Posts: 167 Joined: Nov 2008 Reputation: 0	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ . $(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1) Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ... => $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2) (1) và (2)=> đpcm @ilovemath: Cố gắng gõ Latex nhé.

29-01-2011, 10:14 PM (This post was last modified: 29-01-2011 10:17 PM by ilovemath.) Post: #3
ilovemath Ma tập sự Posts: 11 Joined: Aug 2010 Reputation: 0	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. (29-01-2011 09:30 PM)THOMAS Wrote: Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ . $(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1) Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ... => $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2) (1) và (2)=> đpcm @ilovemath: Cố gắng gõ Latex nhé. Anh ơi, huhu, em bíêt em dốt nát, em không hiểu lắm.Từ (1) và (2) sao ra được điều phải chứng minh vậy.Anh giải thích giúp em đc không

30-01-2011, 07:18 AM Post: #4
ilovemath Ma tập sự Posts: 11 Joined: Aug 2010 Reputation: 0	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. À, em ra bài 1 rồi anh ơi. Tách đôi 2010,2011,2012 rồi dùng công thức bíên tổng thành tích ta ra đc VT<=VP Còn bài 2 (sau 1 đêm trăn trở) ,em ...vẫn bí

30-01-2011, 10:23 AM (This post was last modified: 30-01-2011 10:24 AM by Seto.) Post: #5
Seto A 2008-2011 Ma lem Posts: 110 Joined: Oct 2008 Reputation: 0	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. (29-01-2011 09:30 PM)THOMAS Wrote: Áp dụng bdt $(a+b)^3 \leq 4(a^3+b^3)$ . $(x+y+z+t)^3 \leq 4(x+y)^3+4(z+t)^3 \leq 16(x^3+y^3+z^3+t^3)$ (1) Cauchy 3 số : $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$ ... => $x^3+y^3+z^3+t^3 \geq xyz +yzt+ztx+txy$ (2) (1) và (2)=> đpcm Ngược dấu rồi bác Ko mất tính TQ, giả sử t nhỏ nhất. Xét $t=0$ , BDT trở thành $(x+y+z)^3 \leq 4(x^3+y^3+z^3)+24xyz$ $<=>xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) \leq x^3+y^3+z^3+6xyz$ Theo Schur ta có bdt chặt hơn là $xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z) \leq x^3+y^3+z^3+3xyz$ nên cái trên hiển nhiên đúng. Xét t khác 0. Chia 2 vế cho t^3 sau đó đặt $\frac{x}{t}=a,\frac{y}{t}=b,\frac{z}{t}=c$ thì ta dc $(a+b+c+1)^3 \leq 4(a^3+b^3+c^3+1)+24abc+24(ab+bc+ca)$ (bước này thực ra là chuẩn hoá cho t=1). Dùng phép biến đổi đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ rồi khai triển, ta cần CM bdt $P^3+8q+12r+1 \geq p^2+p+4pq()$ + TH $4q \geq p^2$ $=>8q+1 \geq 2p^2+1 \geq p^2+p(1)$ Theo Schur: $p^3+9r \geq 4pq(2)$ . $(1),(2)=>()$ +TH $p^2 \geq 4q$ Khi đó $(*)<=>(p-2)(p^2-4q)+P^2-p+1\geq$ Bdt này đúng do $p=a+b+c=x/t+y/z+z/t \geq 3>2$ (Do $t \leq x,y,z$ ) Ta có dpcm. Dấu = xảy ra khi có 2 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

30-01-2011, 03:46 PM (This post was last modified: 30-01-2011 04:45 PM by ilovemath.) Post: #6
ilovemath Ma tập sự Posts: 11 Joined: Aug 2010 Reputation: 0	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. Em cảm các anh chị đã tận tình giúp đỡ em ạ.Chúc mọi người một cái Tết vui vẻ, an khang thịng vượng.

02-02-2011, 08:27 PM Post: #7
louisgvr Toán 2010-2013 Ma bư Posts: 528 Joined: Jul 2010 Reputation: 3	RE: Hệ thức lượng và bất đẳng thức. Vô năm hình như học cái này. Tks các bạn và các anh chị. Harmonica-hòa nhịp cảm xúc