Threaded Mode | Linear Mode

TTT · 10-06-2010, 09:44 PM

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG PTNK
Môn thi: Toán chuyên
Thời gian : 150 phút

Câu 1.
a) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện $a +b + c = a^3 + b^3 + c^3 = 0$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0.
b) Giải hệ phương trình $x + y + z = 3, xy + yz + zx = -1, x^3 + y^3 + z^3 + 6 = 3(x^2 +y^2+z^2)$

Câu 2.
a) Giải phương trình $(2x-1)^2 = 12\sqrt{x^2-x-2}+1.$
b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 2. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $2 \le BC \le \sqrt{2}(AC+AB-\sqrt{2})$

Câu 3.
a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố.

Câu 4
Cho trường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC có độ dài $BC = R\sqrt{3}$ . A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K ≠ A).
a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định.
b) Xác định vị trí của điểm A để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5.
Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận).
a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.
b) Khẳng định trên còn đúng không nếu các đội đã thi đấu 5 trận?

ldn28593 · 11-06-2010, 10:40 AM

năm nay WC nên câu cuối có bóng đá thì không lạ gì.
ngộ thật, cấu trúc đề năm nay na ná 2 năm trước

neo260192 · 12-06-2010, 07:44 AM

năm truớc là Euro, năm nay WC Laughing

Mashimaru · (This post was last modified: 12-06-2010 05:04 PM by Mashimaru.)

Bài cuối mọi người chém thử xem nào? Mình có cách làm như sau

a. Giả sử kết luận của bài toán là sai, tức là trong ba đội bất kỳ thì có hai đội đã đấu với nhau rồi. Giả sử đội $1$ đã gặp các đội $2,3,4,5$ . Xét các bộ $(1,6,i)$ với $i \in \{7,8,...,12\}$ , trong các bộ này phải có ít nhất một cặp đã đấu với nhau, tuy nhiên $1$ không gặp $6$ hay $i$ nên $6$ gặp $i, \forall i \in \{7,8,...,12\}$ , vô lý vì đội $6$ như thế đã đấu hơn $4$ trận. Vậy có đpcm.

b. Kết luận không đúng. Chia $12$ đội thành $2$ nhóm, mỗi nhóm $6$ đội. Trong mỗi nhóm này, cho tất cả các đội đôi một đã thi đấu với nhau. Lúc này rõ ràng mỗi đội đã đấu $5$ trận. Khi xét $3$ đội bất kỳ, phải có $2$ đội thuộc cùng một nhóm, do đó $2$ đội này đã đấu với nhau. Ta có phản ví dụ.

Có thể giải quyết đơn giản hơn cho câu a. như sau:
Do mỗi đội đã đấu $4$ trận nên tồn tại hai đội $A,B$ chưa đấu với nhau. Trong các đội còn lại, vì $A$ và $B$ chỉ đấu $3$ trận với họ nên tổng số trận của $A,B$ với các đội này nhiều nhất là $6$ và do đó, tồn tại đội $C$ trong số các đội còn lại chưa đấu với cả $A$ và $B$ . Ta có $A,B,C$ là bộ ba đội đôi một chưa đấu với nhau.

Hy vọng có cách giải quyết đơn giản hơn cho câu a. cũng như một phản ví dụ khác cho câu b Big Grin

ldn28593 · (This post was last modified: 14-06-2010 10:14 PM by ldn28593.)

Giả sủ sau n vòng đấu, luôn tìm được 3 đội sao cho đôi một chưa đấu với nhau. Ta chứng minh rằng
n =< 4
Xét một đội A nào đó. Tại vòng thứ i thì đội A đấu với A[i] với i < 12.
Sau n vòng đấu A đấu với các đội A[i] với 1=< i =< n và chưa đấu với các đội A[i] với n < i < 12
Xét đội A[n+1] chẳng hạn. Khi đó, sau n vòng đấu A[n+1] chưa đấu với A.
Giả sử tồn tại 1 đội bóng sao cho A[i] chưa đấu với cả A[n+1] và A
Khi đó n+1 < i < 12 => khả năng tìm ra đội bóng này nằm trong (11-(n+2))+1 = 10 - n đội
n phải thoả sao cho trong 10-n đội này luôn có 1 đọi A[n+1] chưa thi đấu
Mà A[n+1] thi đấu n trân nên đk để tồn tại 3 đội như trên là
n < 10- n hay n < 5

anh Hiếu thấy cách này thế nào?

Mashimaru · (This post was last modified: 19-06-2010 04:31 PM by Mashimaru.)

@ldn28593:
+ Em là Đại Nam à Big hug

+ Anh thấy rằng em đang chứng minh mệnh đề "Nếu sau $n$ vòng đấu, luôn tìm được $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau thì $n \leq 4$ " (câu đầu tiên trong post của em). Tuy nhiên mệnh đề này không đúng vì anh có thể xây dựng một phản ví dụ với trường hợp mỗi đội đều đã đấu $5$ trận nhưng vẫn tồn tại $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau. Phản ví dụ như sau: Giả sử $12$ đội bóng là $A_i, B_i, C_i$ với $i=1,2,3,4$ . Cho các đội $A_i$ đôi một đấu với nhau và tương tự cho $2$ nhóm còn lại. Tiếp theo cho $A_i, B_i, C_i$ đôi một đã đấu với nhau. Lúc này, mỗi đội đều đấu $5$ trận nhưng ví dụ $A_1, B_2, C_3$ đôi một chưa đấu với nhau.
+ Cho dù điều em làm là đúng thì nó cũng ko phải là yêu cầu của bài toán vì đề bài là "Chứng minh rằng tìm được khi $n \leq 4$ " chứ không phải là "Nếu tìm được thì $n \leq 4$ " worried

ldn28593 · 19-06-2010, 05:27 PM

(19-06-2010 04:29 PM)Mashimaru Wrote: @ldn28593:
+ Em là Đại Nam à
+ Anh thấy rằng em đang chứng minh mệnh đề "Nếu sau $n$ vòng đấu, luôn tìm được $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau thì $n \leq 4$ " (câu đầu tiên trong post của em). Tuy nhiên mệnh đề này không đúng vì anh có thể xây dựng một phản ví dụ với trường hợp mỗi đội đều đã đấu $5$ trận nhưng vẫn tồn tại $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau. Phản ví dụ như sau: Giả sử $12$ đội bóng là $A_i, B_i, C_i$ với $i=1,2,3,4$ . Cho các đội $A_i$ đôi một đấu với nhau và tương tự cho $2$ nhóm còn lại. Tiếp theo cho $A_i, B_i, C_i$ đôi một đã đấu với nhau. Lúc này, mỗi đội đều đấu $5$ trận nhưng ví dụ $A_1, B_2, C_3$ đôi một chưa đấu với nhau.
+ Cho dù điều em làm là đúng thì nó cũng ko phải là yêu cầu của bài toán vì đề bài là "Chứng minh rằng tìm được khi $n \leq 4$ " chứ không phải là "Nếu tìm được thì $n \leq 4$ "

cảm ơn anh góp ý. cái câu đầu tiền ý em là nếu n =< 4 thì chắc chắn tìm đc còn n>4 thì vẫn có thể không tìm được ^^. tại em diễn đạt hơi vụng về

**THOMAS** · (This post was last modified: 20-06-2010 11:52 PM by THOMAS.)

Sau đây là bài toán tổng quát của bài số 5,ai thích thì thử nhé,có thể thay số cho giống World Cup 2010 cho 32 đội bóng Big Grin

Cho số nguyên dương n và $n$ đội tham gia một kỳ thi đấu, mỗi đội thi đấu đúng $x$ trận với các đội khác.Tìm giá trị lớn nhất của $x$ sao cho với mọi cách dàn xếp trận đấu,ta luôn tìm được $3$ đội đôi một không đấu với nhau.

Bài số 5 chính là trường hợp cho n=12 Laughing

Khi đó x=4 là giá trị lớn nhất thỏa đề bài,trường hợp x=5 cho ta phản ví dụ Laughing

Đáp số : $x=\frac{n}{2}-2$ nếu n chẵn.
$x=\frac{n-3}{2}$ nếu n lẻ.

Còn đây là đáp án đề thi của thầy Nam Dũng trên mathscope :

hizact · (This post was last modified: 14-11-2010 11:17 AM by hizact.)

Câu 1 đúng là câu cho điểm thật Laughing

a) Thay $a=-b-c$ vào $a^3+b^3+c^3=0$
thu được $bc(b+c)=0 \leftrightarrow abc=0$ có ngay đpcm
b) Biểu diễn tất cả qua các đa thức đối xứng cơ sở

Câu 2a mới nhìn tưởng trâu, ai ngờ là câu vừa dễ, vừa nhảm nhí nhất đề
Câu 2b còn dễ hơn câu 1 nữa Straight face

$2S=4=AB.AC \le \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{2}$
$\Rightarrow BC \ge 2\sqrt 2 > 2$ (chỗ này nghi đề nhầm wa')

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \le \sqrt 2 \left( {AB + AC - \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} + 8 \ge 4\sqrt 2 \left( {AB + AC} \right)$ (đúng nhờ AM-GM)
PS: Có thể bình phương trong quá trình biến đổi tương đương là nhờ ${AB + AC - \sqrt 2 }>0$ - dễ chứng minh

Câu 3b cũng chỉ sử dụng ý tưởng phản chứng đơn giản
Giả sử tồn tại bộ 5 số thỏa đề bài. Dễ cm trong 5 số đó không có số chẵn. Gọi bộ 5 số đó là $(2a+1,2b+1,..., 2e+1)$ . Ta có $(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=2(a+b+c)+3$ là số nguyên tố
. Suy ra $(a+b+c)$ không chia hết cho 3. Lý luận tương tự với các bộ 3 số còn lại. Cộng tất cả lại ta suy ra $3(a+b+c+d+e)$ không chia hết cho 3 (vô lý)

10-06-2010, 09:44 PM Post: #1
TTT Toán 2009-2012 Ma tập sự Posts: 17 Joined: Feb 2010 Reputation: 0	Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG PTNK Môn thi: Toán chuyên Thời gian : 150 phút Câu 1. a) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện $a +b + c = a^3 + b^3 + c^3 = 0$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất một số bằng 0. b) Giải hệ phương trình $x + y + z = 3, xy + yz + zx = -1, x^3 + y^3 + z^3 + 6 = 3(x^2 +y^2+z^2)$ Câu 2. a) Giải phương trình $(2x-1)^2 = 12\sqrt{x^2-x-2}+1.$ b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 2. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $2 \le BC \le \sqrt{2}(AC+AB-\sqrt{2})$ Câu 3. a) Hãy chỉ ra một bộ 4 số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố. b) Chứng minh rằng không tồn tại 5 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố. Câu 4 Cho trường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC có độ dài $BC = R\sqrt{3}$ . A là một điểm thay đổi trên cung lớn BC. Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K ≠ A). a) Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định. b) Xác định vị trí của điểm A để tam giác KBC có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó theo R. c) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận). a) Chứng minh rằng sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau. b) Khẳng định trên còn đúng không nếu các đội đã thi đấu 5 trận?

11-06-2010, 10:40 AM Post: #2
ldn28593 Lý 2008-2011 Ma lem Posts: 132 Joined: Sep 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên năm nay WC nên câu cuối có bóng đá thì không lạ gì. ngộ thật, cấu trúc đề năm nay na ná 2 năm trước

12-06-2010, 07:44 AM Post: #3
neo260192 Toán 2007-2010 Ma bư Posts: 340 Joined: Aug 2008 Reputation: 1	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên năm truớc là Euro, năm nay WC Khi em cười , đôi môi anh khẽ mỉm Khi em khóc , khóe mắt anh lại cay Người yêu nhỏ bé ơi , trái tim anh đang rung động ! Thầm mến em rồi , có hiểu được chăng ?

12-06-2010, 05:03 PM (This post was last modified: 12-06-2010 05:04 PM by Mashimaru.) Post: #4
Mashimaru (Phạm Hy Hiếu) Toán 2007-2010 Ma lem Posts: 105 Joined: Aug 2008 Reputation: 1	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên Bài cuối mọi người chém thử xem nào? Mình có cách làm như sau a. Giả sử kết luận của bài toán là sai, tức là trong ba đội bất kỳ thì có hai đội đã đấu với nhau rồi. Giả sử đội $1$ đã gặp các đội $2,3,4,5$ . Xét các bộ $(1,6,i)$ với $i \in \{7,8,...,12\}$ , trong các bộ này phải có ít nhất một cặp đã đấu với nhau, tuy nhiên $1$ không gặp $6$ hay $i$ nên $6$ gặp $i, \forall i \in \{7,8,...,12\}$ , vô lý vì đội $6$ như thế đã đấu hơn $4$ trận. Vậy có đpcm. b. Kết luận không đúng. Chia $12$ đội thành $2$ nhóm, mỗi nhóm $6$ đội. Trong mỗi nhóm này, cho tất cả các đội đôi một đã thi đấu với nhau. Lúc này rõ ràng mỗi đội đã đấu $5$ trận. Khi xét $3$ đội bất kỳ, phải có $2$ đội thuộc cùng một nhóm, do đó $2$ đội này đã đấu với nhau. Ta có phản ví dụ. Có thể giải quyết đơn giản hơn cho câu a. như sau: Do mỗi đội đã đấu $4$ trận nên tồn tại hai đội $A,B$ chưa đấu với nhau. Trong các đội còn lại, vì $A$ và $B$ chỉ đấu $3$ trận với họ nên tổng số trận của $A,B$ với các đội này nhiều nhất là $6$ và do đó, tồn tại đội $C$ trong số các đội còn lại chưa đấu với cả $A$ và $B$ . Ta có $A,B,C$ là bộ ba đội đôi một chưa đấu với nhau. Hy vọng có cách giải quyết đơn giản hơn cho câu a. cũng như một phản ví dụ khác cho câu b

14-06-2010, 10:14 PM (This post was last modified: 14-06-2010 10:14 PM by ldn28593.) Post: #5
ldn28593 Lý 2008-2011 Ma lem Posts: 132 Joined: Sep 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên Giả sủ sau n vòng đấu, luôn tìm được 3 đội sao cho đôi một chưa đấu với nhau. Ta chứng minh rằng n =< 4 Xét một đội A nào đó. Tại vòng thứ i thì đội A đấu với A[i] với i < 12. Sau n vòng đấu A đấu với các đội A[i] với 1=< i =< n và chưa đấu với các đội A[i] với n < i < 12 Xét đội A[n+1] chẳng hạn. Khi đó, sau n vòng đấu A[n+1] chưa đấu với A. Giả sử tồn tại 1 đội bóng sao cho A[i] chưa đấu với cả A[n+1] và A Khi đó n+1 < i < 12 => khả năng tìm ra đội bóng này nằm trong (11-(n+2))+1 = 10 - n đội n phải thoả sao cho trong 10-n đội này luôn có 1 đọi A[n+1] chưa thi đấu Mà A[n+1] thi đấu n trân nên đk để tồn tại 3 đội như trên là n < 10- n hay n < 5 anh Hiếu thấy cách này thế nào?

19-06-2010, 04:29 PM (This post was last modified: 19-06-2010 04:31 PM by Mashimaru.) Post: #6
Mashimaru (Phạm Hy Hiếu) Toán 2007-2010 Ma lem Posts: 105 Joined: Aug 2008 Reputation: 1	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên @ldn28593: + Em là Đại Nam à + Anh thấy rằng em đang chứng minh mệnh đề "Nếu sau $n$ vòng đấu, luôn tìm được $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau thì $n \leq 4$ " (câu đầu tiên trong post của em). Tuy nhiên mệnh đề này không đúng vì anh có thể xây dựng một phản ví dụ với trường hợp mỗi đội đều đã đấu $5$ trận nhưng vẫn tồn tại $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau. Phản ví dụ như sau: Giả sử $12$ đội bóng là $A_i, B_i, C_i$ với $i=1,2,3,4$ . Cho các đội $A_i$ đôi một đấu với nhau và tương tự cho $2$ nhóm còn lại. Tiếp theo cho $A_i, B_i, C_i$ đôi một đã đấu với nhau. Lúc này, mỗi đội đều đấu $5$ trận nhưng ví dụ $A_1, B_2, C_3$ đôi một chưa đấu với nhau. + Cho dù điều em làm là đúng thì nó cũng ko phải là yêu cầu của bài toán vì đề bài là "Chứng minh rằng tìm được khi $n \leq 4$ " chứ không phải là "Nếu tìm được thì $n \leq 4$ "

19-06-2010, 05:27 PM Post: #7
ldn28593 Lý 2008-2011 Ma lem Posts: 132 Joined: Sep 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên (19-06-2010 04:29 PM)Mashimaru Wrote: @ldn28593: + Em là Đại Nam à + Anh thấy rằng em đang chứng minh mệnh đề "Nếu sau $n$ vòng đấu, luôn tìm được $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau thì $n \leq 4$ " (câu đầu tiên trong post của em). Tuy nhiên mệnh đề này không đúng vì anh có thể xây dựng một phản ví dụ với trường hợp mỗi đội đều đã đấu $5$ trận nhưng vẫn tồn tại $3$ đội đôi một chưa đấu với nhau. Phản ví dụ như sau: Giả sử $12$ đội bóng là $A_i, B_i, C_i$ với $i=1,2,3,4$ . Cho các đội $A_i$ đôi một đấu với nhau và tương tự cho $2$ nhóm còn lại. Tiếp theo cho $A_i, B_i, C_i$ đôi một đã đấu với nhau. Lúc này, mỗi đội đều đấu $5$ trận nhưng ví dụ $A_1, B_2, C_3$ đôi một chưa đấu với nhau. + Cho dù điều em làm là đúng thì nó cũng ko phải là yêu cầu của bài toán vì đề bài là "Chứng minh rằng tìm được khi $n \leq 4$ " chứ không phải là "Nếu tìm được thì $n \leq 4$ " cảm ơn anh góp ý. cái câu đầu tiền ý em là nếu n =< 4 thì chắc chắn tìm đc còn n>4 thì vẫn có thể không tìm được ^^. tại em diễn đạt hơi vụng về

20-06-2010, 03:06 PM (This post was last modified: 20-06-2010 11:52 PM by THOMAS.) Post: #8
THOMAS Toán 2008-2011 Hãy chơi theo cách của bạn Posts: 210 Joined: Nov 2008 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên Sau đây là bài toán tổng quát của bài số 5,ai thích thì thử nhé,có thể thay số cho giống World Cup 2010 cho 32 đội bóng Cho số nguyên dương n và $n$ đội tham gia một kỳ thi đấu, mỗi đội thi đấu đúng $x$ trận với các đội khác.Tìm giá trị lớn nhất của $x$ sao cho với mọi cách dàn xếp trận đấu,ta luôn tìm được $3$ đội đôi một không đấu với nhau. Bài số 5 chính là trường hợp cho n=12 Khi đó x=4 là giá trị lớn nhất thỏa đề bài,trường hợp x=5 cho ta phản ví dụ Đáp số : $x=\frac{n}{2}-2$ nếu n chẵn. $x=\frac{n-3}{2}$ nếu n lẻ. Còn đây là đáp án đề thi của thầy Nam Dũng trên mathscope : Attached File(s) PTNKEntry2010_Solutions.doc (Size: 67 KB / Downloads: 61)

14-11-2010, 10:40 AM (This post was last modified: 14-11-2010 11:17 AM by hizact.) Post: #9
hizact Ma mới Posts: 2 Joined: Nov 2010 Reputation: 0	RE: Đề thi tuyển sinh PTNK môn Toán Chuyên Câu 1 đúng là câu cho điểm thật a) Thay $a=-b-c$ vào $a^3+b^3+c^3=0$ thu được $bc(b+c)=0 \leftrightarrow abc=0$ có ngay đpcm b) Biểu diễn tất cả qua các đa thức đối xứng cơ sở Câu 2a mới nhìn tưởng trâu, ai ngờ là câu vừa dễ, vừa nhảm nhí nhất đề Câu 2b còn dễ hơn câu 1 nữa $2S=4=AB.AC \le \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{2}$ $\Rightarrow BC \ge 2\sqrt 2 > 2$ (chỗ này nghi đề nhầm wa') $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \le \sqrt 2 \left( {AB + AC - \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow {\left( {AB + AC} \right)^2} + 8 \ge 4\sqrt 2 \left( {AB + AC} \right)$ (đúng nhờ AM-GM) PS: Có thể bình phương trong quá trình biến đổi tương đương là nhờ ${AB + AC - \sqrt 2 }>0$ - dễ chứng minh Câu 3b cũng chỉ sử dụng ý tưởng phản chứng đơn giản Giả sử tồn tại bộ 5 số thỏa đề bài. Dễ cm trong 5 số đó không có số chẵn. Gọi bộ 5 số đó là $(2a+1,2b+1,..., 2e+1)$ . Ta có $(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=2(a+b+c)+3$ là số nguyên tố . Suy ra $(a+b+c)$ không chia hết cho 3. Lý luận tương tự với các bộ 3 số còn lại. Cộng tất cả lại ta suy ra $3(a+b+c+d+e)$ không chia hết cho 3 (vô lý)