PTNK Forums

Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c. CM các bất đẳng thức sau:
i)
$ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 \geq a^4 + b^4 + c^4 $
ii)
$ \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 2( a cos{A}+bcos{B}+ccos{C}) $
iii)
$ (\frac{ab}{c} - \frac{c}{ab}) + (\frac{bc}{a}-\frac{a}{bc}) + (\frac{bc}{a}-\frac{a}{bc}) + \frac{3}{2abc} \geq a cos{A} + b cos{B} + c cos{C} $
iv)
Giả sử các góc A,B,C không nhỏ hơn pi/6 diện tích ABC nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 thì
$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{b^2}{c^2+a^2} + \frac{c^2}{a^2+b^2} $

thằng nào buồn đây bay Laughing

Hảo solo hả Wink

)

(11-05-2009 06:10 AM)duysmicrosoft Wrote: [ -> ]thằng nào buồn đây bay Hảo solo hả )

Thế nào? Cho ngộ vài lời bình với nhé!

(10-05-2009 01:59 PM)lim Wrote: [ -> ]Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c. CM các bất đẳng thức sau:
i)
$ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 \geq a^4 + b^4 + c^4 $
ii)
$ \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 2( a cos{A}+bcos{B}+ccos{C}) $
iii)
$ (\frac{ab}{c} - \frac{c}{ab}) + (\frac{bc}{a}-\frac{a}{bc}) + (\frac{bc}{a}-\frac{a}{bc}) + \frac{3}{2abc} \geq a cos{A} + b cos{B} + c cos{C} $
iv)
Giả sử các góc A,B,C không nhỏ hơn pi/6 diện tích ABC nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 thì
$ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq \frac{a^2}{b^2+c^2} + \frac{b^2}{c^2+a^2} + \frac{c^2}{a^2+b^2} $

Chém gió phát Big Grin

i) $Bdt <=> (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) > 0$

ii) $Bdt <=> ... <=> a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$

iii) $Bdt <=> ... <=> a^4+b^4+c^4+3 \geq 2(a^2+b^2+c^2)$

iv) Từ gt $=> \sin{A},\sin{B},\sin{C} \geq 1/2$ . Do đó:
$VT \geq \sum{\frac{1}{ab}} = \sum{\frac{\sin{A}}{2S} \geq 3$
Không mất tính TQ, giả sử $a \geq b \geq c$ . Do a,b,c là 3 cạnh tam giác nên:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} \leq \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2} \leq 2$
$\frac{b^2}{a^2+c^2} + \frac{c^2}{a^2+b^2} = 1 - \frac{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \leq 1$
=> $VT \leq 3 \leq VP$

lim

duysmicrosoft

lim

Seto